在Minecraft中使用末影之眼可以寻找要塞。击杀末影人获得的末影珍珠与烈焰粉各1个可合成一颗末影之眼。一般末影珍珠的爆率不高，找到要塞之后进入下界门也需要16只末影之眼，所以更要节省着使用。如何花费尽量少的末影之眼来找到要塞呢，接下来我们使用坐标系变换将要塞的坐标计算出来。

首先，回忆一点数学知识：

1. 已知平面直角坐标系的两条不平行的直线，可以求出其交点。利用的是联立两直线方程得到方程组并求其解，两直线不平行则此方程组有且仅有唯一解，此解即是两直线在平面直角坐标系的交点。
2. 已知平面一点的坐标和横轴正方向的夹角能唯一确定一条射线，并且可以求出此射线所在直线的方程。
   利用的是直线的斜率为此夹角的正切值，将已知点代入直线的点斜式方程即可得到直线方程。

这些都是基础数学常识，我们可以在Minecraft中看一下。
在游戏中按F3(默认快捷键)，可以看到左上和右上出现了非常多的数据。我们只需要关心左上角的”XYZ”一行，以及Facing一行即可。

XYZ这一行展示出了我们的坐标，其中y表示高度，所以我们只需要看x和z，而Facing一行最末的括号中是我们的方向，以“方向角/仰角”的格式，我们也只需要看水平的方向角。我们可以在一个地方扔出一颗末影之眼，扔出之后准星对着末影之眼飞出的方向。这样，既有平面坐标(x,z)，又有一个夹角，从而确定一条从当前点到要塞连线的射线，
换个地方再扔一次，就得到另一条射线。我们对这两条射线所在的直线联立方程组进行求解，便可以计算出要塞的坐标。可以尝试一下：利用点斜式方程\( z-z_0=tan(\theta)(x-x_0) \)，代入联立并解得一个坐标，这个坐标并不是要塞坐标。

数学中惯用的坐标系是\(xy\)逆时针坐标系。过原点的射线与x轴正半轴的夹角绕原点向逆时针增加的。
即沿着夹角为0的射线出发使\(x\)值增大。且夹角为\(90\)度时，使\(y\)值增大。
而Minecraft中的方向角为\(0\)时会使\(z\)方向增大，夹角为\(90\)度时使\(x\)值减小。
说明Minecraft中的坐标系是\(zx\)顺时针坐标系，构建直线方程就不能直接使用我们的结论。
不过我们可以将此\(zx\)顺时针坐标系下变换为\(xy\)逆时针坐标系，再沿用基础数学结论。
对于\(zx\)坐标系，我们记变换后的坐标系为\(x’y’\)逆时针坐标系。
变换矩阵为

\[ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z \\ x \\ \end{pmatrix} \]

这样\(z\)正方向的顺时针夹角\(\theta\)在\(x’y’\)坐标系下便是x’正方向的逆时针夹角，与数学上惯用的平面直角坐标一致。
将输入的\(zx\)坐标变换为相应\(x’y’\)，求出直线交点\( (x’,y’) \)，再逆变换得到 \(x\)与\(z\)的值，即是要塞所在的位置。

至于投出两次末影之眼的地点，要使两次夹角相差不能太小，由于两夹角的正切值之差在计算时作为分母出现，若此差值过小，则误差可能非常大。
一般是在投出一次之后，向末影之眼指示方向垂直的方向行动一段距离。但若距离过大，可能导致这两次末影之眼分别定位至不同的要塞，则计算无效。

例如：
站立的坐标为\((x,z)=(-815,-247) \)，投出一颗末影之眼，此时方向角为\( 42.6^\circ \)
移动至\( (x,z)=(-746,-55)\),再投一颗末影之眼，得到方向角为\( 52.1^\circ \)
变换至\(x’y’\)坐标下，对应两夹角不变，两点的坐标分别为\((247,-815),(55,-746)\)
则两直线方程分别为

\[ \begin{cases}
y’+815 &=\tan(42.6^\circ)(x’-247) \\
y’+746 &=\tan(52.1^\circ)(x’-55) \\
\end{cases} \]
解得

\[ \begin{cases}x’ & =-617.42 \\ y’ &=-1609.76 \\ \end{cases}\]

从而原坐标系下坐标为

\[ \begin{cases}
x &=y’ &= -1609.76 \\
z & =-x’ & =617.42 \\
\end{cases} \]

验证一下，在拥用权限游戏中使用命令”/locate stronghold”查看最近的要塞位置，结果为

"The nearest stronghold is at [-1608,~,632]"(1102 blocks away)

结果还是比较可观的，跑到算出的坐标下应该不难挖到地牢从而找到要塞。