这次Grand赛只会做A题。此D题在比赛时会写朴素的分别计算内心坐标并累加求平均，数据量一大就TLE，要结合几何关系把内心的计算转为坐标的线性运算，既降低了时间复杂度，又减少了浮点计算量。

对于三角形ABC来说，三个顶点的坐标已知。三角形的内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等。三角形的内心与顶点坐标的关系式为：

x=(|BC|*x[A]+|AC|*x[B]+|AB|*x[C])/(|BC|+|AC|+|AB|)

y=(|BC|*y[A]+|AC|*y[B]+|AB|*y[C])/(|BC|+|AC|+|AB|)

本问题若用此法，则需要将所有可能的组合列出，时间复杂度为O(N^3)，只能过一部分测试点。

本题特殊在于，所用三点均是单位圆上的点，要从单位圆上入手，相当于外接三角形的圆心是(0,0),半径为1是辅助条件。对于单位圆上的三点A,B,C来说，记A’为BC不含点A的弧的中点，B’与C’同理。这样，三角形ABC的内心I与三角形A’B’C’的垂心就重合（证明可根据圆周角定理，注意到A,I,A’是在同一条直线上）。三角形的垂心H，重心G，外心O都依H,G,O的顺序在一条直线上(欧拉线
https://mathtrain.jp/euler_line )，并且有|HG|:|GO|=2:1恒成立。而已证ABC的内心与A’B’C’的垂心H重合，所以只需要求A’B’C’的垂心H，又A’B’C’的外边O就是单位圆的圆心(0,0),只需要计算A’B’C’重心坐标即可。三角形重心坐标就是三个顶点坐标的平均值，这样可知G的坐标，就不难计算垂心H。

A’坐标与B,C的选法以及A,B,C的相对位置有关的，而和A的具体位置无关（A与A’分别在直线BC的两侧）。因此，对于A’的每个选择，可以通过找到对A’坐标的对最终答案的贡献，最后全加起来就可以计算出结果。 时间复杂度为O(N^2)。