最近在知乎上看到说南昌大学有些班级觉得老师明知线上教学质量不好，还加大考试难度，故意挂掉很多学生。但是老师回应说题目并不算加大难度。

事情本身与我无关，不过可以看看这套线性代数题目，真的有学生说的那么难吗?

一、选择题

1.设\(A,B,C\)均为\( n\)阶矩阵，且\(ABC=E\)，则下列矩阵为单位矩阵的是

A. \( ACB \)
B. \( CBA \)
C. \( BAC \)
D. \( BCA \)

2.已知4维列向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \)线性无关，则下列向量组中一定线性无关的是

A. \( \alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\)
B. \( \alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_4, \alpha_4+\alpha_1\)
C. \( \alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\)
D. \( \alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_4, \alpha_4-\alpha_1\)

3.若向量组\(\alpha,\beta,\gamma\)线性无关，\(\alpha,\beta,\delta \)线性相关，则

A. \(\alpha\)必可由\(\beta,\gamma,\delta\)线性表出
B. \(\beta\)必不能由\(\alpha,\gamma,\epsilon\)线性表出
C. \(\delta\)必可由\( \alpha, \beta, \gamma \)线性表出
D. \( \delta \)必不能由\( \alpha, \beta, \gamma \)线性表出

4.\( \xi_1,\xi_2,\xi_3 \)是方程组\(Ax=0 \)的基础解系，则下列向量组中也是方程组\(Ax=0\)的基础解系的是

A. \( \xi_1 – \xi_2, \xi_2-\xi_3, \xi_3-\xi_1\)
B. \( \xi_1 + \xi_2, \xi_2-\xi_3, \xi_3+\xi_1\)
C. \( \xi_1 + \xi_2 – \xi_3 , \xi_1+2\xi_2+\xi_3, 2\xi_1+3\xi_2\)
D. \( \xi_1 + \xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1\)

5.\(A,B\)是\(n \)阶矩阵，下列命题中真命题的数量为

(1)\(A\)与\(A^T\)有相同的特征值
(2)若\(A~B\)，则\(A,B\)有相同的特征值
(3)若A,B均是实对称矩阵，则\(AB\)和\(BA\)有相同的特征值
(4)A是可逆矩阵，则\(AB\)与\(BA\)有相同的特征值
A.1个，B.2个，C.3个，D.4个

二、填空题

1. \( D= \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 &3 &-4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3 \\ \end{vmatrix} \)，则\(A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}=\text{____}\)

2. \( \alpha = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\\ \end{pmatrix}\), \( \beta = \begin{pmatrix}1\\2\\4\\ \end{pmatrix}\) ，\(A=\alpha\beta^T\),\(A^{100}=\text{____}\)

3.设\(n\)阶方阵\(A\)和\(s\)阶方阵\(B\)都可逆，则\( \begin{pmatrix}O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{-1} =\text{____} \)

4.设\(A= \begin{pmatrix}1 & -2 & 3k \\ -1 & 2k & -3 \\ k & -2 & 3\\ \end{pmatrix} \) ，\(R(A)=2 \)，则\(k =\text{____} \)

5. 设 \(A= \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & x \\ 4 & 0 & 5\\ \end{pmatrix} \) 可相似对角化，则\(x =\text{____} \)

三、计算题

1.计算\(D_n = \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & x \\ \end{vmatrix} \)

2.设 \(A=\text{diag}(1,-2,1),A^*BA=2BA-8E\)，求B

3.已知三阶矩阵A的特征值为\( 1,2,-3 \)，求\( |A^*+3A+2E| \)

四、计算题

1.利用矩阵的初等变换，求方阵\( \begin{pmatrix}
3 & -2 & 0 & -1\\
0 & 2 & 2 & 1\\
1 & -2 & -3 & -2\\
0 & 1 & 2 & 1\\ \end{pmatrix} \)的逆矩阵

2.非齐次线性方程组\(\begin{cases}-2x_1+x_2+x_3=-2\\x_1-2x_2+x_3=\lambda\\x_1+x_2-2x_3=\lambda^2\\ \end{cases}\)，当\(\lambda\)取何值时有解，并求出其通解。

五、计算题

1.设\(f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2\alpha x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\)为正定二次型，求\(\alpha\)的取值范围。

2. \( A=\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 1 & -2 \\
0 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix} \) ，试求一个正交矩阵\( P \)，使\(P^{-1}AP\)为对角矩阵，且 \(P^{-1}AP\) 的主对角线上的元素排列是从小到大的顺序。

六、证明题

1.\(\sin\alpha \neq 0, D_n = \begin{vmatrix}
2\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
1 & 2\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2\cos \alpha & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 2\cos\alpha & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2\cos\alpha \\
\end{vmatrix} \)，证明 \(D_n = \frac{\sin(n+1)\alpha}{\sin\alpha} \)

2. 设\( \beta_1 = \alpha_1 , \beta_2 = \alpha_1+\alpha_2, … , \beta_t = \alpha_1+\alpha_2+…+\alpha_t \),且向量组\( \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_t \)线性无关，证明向量组\( \beta_1, \beta_2, …, \beta_t \)线性无关

3.设\( A \)是\(n (n\geq 2) \) 阶矩阵，\(A^*\)为\(A\)的伴随矩阵，证明：\( R(A^*) =
\begin{cases}
n,R(A)=n\\
1,R(A)=n-1\\
0,R(A)\leq n-2\\
\end{cases} \)